لماذا ندرس الاعداد التخيلية فى الرياضيات؟ تعرف على السبب مع الرياضياتى

الأعداد بشكل عام هي مفاهيم رياضية مجردة للقيام بعمليات القياس، العد، الترتيب، التصنيف و غيرها.. اعتمادا على المفاهيم التي نرغب بتمثيلها و العمليات التي نحتاج للقيام بها يمكن أن نجد مجموعة من الأعداد أكثر بساطة أو كفاءة للقيام بالعمل المطلوب.

لماذا ندرس الاعداد التخيلية فى الرياضيات؟ تعرف على السبب مع الرياضياتى.

تزخر الرياضيات الحديثة بمفاهيم يمكن اعتبارها أقرب للمجردة من الحقيقية، إلا أن العدد "التخيلي" i -من وجهة نظري المتواضعة- مظلوم بإلحاقه دائما بكلمة التخيلي. معظم أرقامنا و مفاهيمنا الرياضية "تخيلية"، لا يمكنني أن أريك مثالا على "صفر" من الأشياء، أو أن أقدم لك كميات تماثل الأعداد e أو π، أو أن أعطيك كمية "لانهائية" ∞ من شيء ما، حتى الإعداد السالبة لا معنى لها دون سياق مرجعي يفسر معنى الإشارات.

هل يعني هذا أن هذه المفاهيم بلا قيمة؟ طبعا لا، كل من هذه المفاهيم يرتبط ارتباطا وثيقا بمجموعة من المشاكل التي يمكن حلها ب"بساطة" باستخدام المفهوم المجرد الخاص بها، و على شهرة المشاكل تأتي أهمية المفهوم. π مثلا مفهوم مجرد يربط محيط الدائرة بنصف قطرها، كل مشاكل الدوائر يمكن تبسيطها باستخدام π، و كذلك الأمر إن رأيت π في معادلة ما، يمكنك استنتاج أن هناك دائرة مخفية في مكان ما، كذلك الأمر مع e (الأمر في هذه الحالة أكثر تعقيدا، لكن يمكن إيجاد الارتباط الأساسي في مشاكل النمو الأسي و المشتقات في علم التحليل)

العدد "التخيلي" i يمكننا من الانتقال إلى مجموعة اكثر اتساعا لحل مشاكل العالم الواقعي الفوضوية. في كثير من الأحيان لا يمكن حل المعادلات الرياضية التي تمثل أحداثا واقعية دون اللجوء إلى مجموعة يمكنها تجاوز العقبات الجبرية من أمثال إيجاد جذور للأعداد السالبة كخطوة وسيطة. لكن الموضوع لا يتوقف عند هذا الحد.

هذه المعادلة هي المعادلة الأكثر أناقة في الرياضيات (متطابقة أويلر):

تمكن أويلر من إيجاد حقيقة بالغة الأهمية تربط الثوابت الرياضية الأساسية الخمس معا في معادلة لا تطول عن سطر واحد ! هذه المعادلة تأتي كنتيجة من معادلة أكثر أهمية.

هذه المعادلة تحتوي دالتي sin و cos على الطرف الأيمن، و رقما مركبا على الطرف الأيسر (مكتوبا بنظام إحداثي مختلف)، ما يجعل الرقم المركب قادرا على تمثيل مقادير جبرية (ككل الأرقام التقليدية) و مقادير تتعلق بالتردد frequency ما يجعله مفيدا في تمثيل ظواهر الأمواج!

في عالم الأمواج، يجب اتباع قوانين صارمة أثناء القيام بعمليات الحساب التقليدية، أتذكر حفظي في المرحلة الثانوية لأكثر من خمسين قانونا في المثلثات للقيام بالعمليات الحسابية على توابع ال sin و ال cos دون الإخلال بقيم التردد، لأفاجئ بعدها في الجامعة بقدرتي على استبدال هذه القوانين جميعا بمعادلة أويلر!

هناك مقولة شهيرة تنسب لتسلا "إن كنت تريد فهم الكون، فكر من وجهة نظر الطاقة، التردد، و الاهتزازات"، أهمية الأعداد التخيلية أنها تسهل الحسابات في عالم يهتم بالترددات كما يهتم بالمقادير الجبرية، في عالم التيار المتناوب قيمة المقاومة الكهربائية ليست ثابتة إنما تعتمد على تردد التيار المار فيها، في علوم البصريات تردد الضوء لا يقل أهمية عن سطوعه، الصوت موجة تعرف بالشدة و التردد، و كثير من بيانات الحاسوب يمكن معالجتها ببساطة (بما فيها صورك الشخصية) باعتبارها مجرد أمواج في فضاء تحويلات فورير.

لقصورهم المعرفي، واجه الأوروبيون مشاكل في التعامل مع الصفر عندما وصلتهم الأرقام الهندوعربية، بل أنهم شيطنوه و استغربوا قدرته على مضاعفة الأرقام أضعافا كثيرة و حاولوا حظره قبل أن يتقبلوه و يجدو له "تطبيقاً مفيداً".

عندما تجد نفسك أمام مفهوم رياضي جديد توقف للحظة قبل أن تبدأ بشيطنته و حاول الإجابة عن السؤال "ما المشكلة التي يحلها هذا المفهوم ؟".